Question

如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，BC和AD的延长线相交于点E，且AB=AE。 (1)求证

如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，BC和AD的延长线相交于点E，且AB=AE。 (1)求证： (2)若圆的半径为1，△ABE是等边三角形，求BP的长．





Answer 1

（1）证明：连OC，如图， ∵PD切⊙O于C， ∴OC⊥PD， ∵AB=AE， ∴∠2=∠E， 而OC=OB， ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠E， ∴OC∥AE， ∴AD⊥PD； （2）解：∵△ABE是等边三角形， ∴∠A=60°， ∴∠COB=60°， 而∠OCP=90°，OB=OC=1， ∴∠P=30°， ∴OP=2OC=2， ∴BC=2-1=1．

（1）连OC，根据切线的性质得到OC⊥PD，又AB=AE，OC=OB，则∠2=∠E，∠1=∠2，得到∠1=∠E，则OC∥AE，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得∠A=60°，则∠COB=60°，则∠P=30°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2OC=2，从而求出BP