Question

如图，长度为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内，A∈α，B∈β，且AB与平面α、β所成的角都是

如图，长度为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内，A∈α，B∈β，且AB与平面α、β所成的角都是30°，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D．（Ⅰ）求直线AB与CD所成角的大小；（Ⅱ）求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）如图所示，连接BC，设直线AB与CD所成的角为θ，则由AC⊥β知：cosθ=cos∠ABC?cos∠DCB= cos30°? 2 3 = 2 2 ， 故θ=45°； （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）， A(0， 2 ，1) ，B（1，0，0）， C(0， 2 ，0) ， 所以 CA =(0，0，1) ， CB =(1，- 2 ，0) ，设 n 1 =(x，y，z) 是平面ABC的法向量，则 CA ? n 1 =z=0 CB ? n 1 =x- 2 y=0 ? 可以取 n 1 =( 2 ，1，0) ． 同理， n 2 =(0，1，- 2 ) 是平面ABD的法向量． 设二面角C-AB-D所成的平面角为γ，则显然γ是锐角，从而有 cosγ=| n 1 ? n 2 | n 1 |?| n 2 | |= 1 3 × 3 = 1 3 ．