Question

如图所示,在直角坐标系xOy中,点P 到抛物线C:y 2 =2px(p>0)的准线的距离为 .点M(t,1)是C上的定点,A,B

如图所示,在直角坐标系xOy中,点P 到抛物线C:y 2 =2px(p>0)的准线的距离为 .点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分. (1)求p,t的值;(2)求△ABP面积的最大值.

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

Answer 1

(1)    (2)

解:(1)由题意知 得 (2)由(1)知M(1,1), 直线OM的方程为y=x, 设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),线段AB的中点为Q(m,m). 由题意知, 设直线AB的斜率为k(k≠0). 由 得(y 1 -y 2 )(y 1 +y 2 )=x 1 -x 2 , 故k·2m=1, 所以直线AB的方程为y-m= (x-m), 即x-2my+2m 2 -m=0. 由 消去x, 整理得y 2 -2my+2m 2 -m=0, 所以Δ=4m-4m 2 >0, y 1 +y 2 =2m,y 1 y 2 =2m 2 -m. 从而|AB|= ·|y 1 -y 2 |= · . 设点P到直线AB的距离为d, 则d= . 设△ABP的面积为S,则 S= |AB|·d=|1-2(m-m 2 )|· . 由Δ=4m-4m 2 >0,得0<m<1. 令u= ,0<u≤ ,则S=u(1-2u 2 ). 设S(u)=u(1-2u 2 ),0<u≤ ,则S′(u)=1-6u 2 . 由S′(u)=0,得u= ∈ , 因此S(u)在 单调递增,在 单调递减, 所以S(u) max =S = . 故△ABP面积的最大值为 .