Question

如图，已知圆O 1 与圆O 2 外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O 1 的

如图，已知圆O 1 与圆O 2 外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O 1 的直径，过C作圆O 2 的切线，切点为D．（Ⅰ）求证：C，P，B三点共线；（Ⅱ）求证：CD=CA．

Answer 1

（Ⅰ）连接PC，PA，PB， ∵AC是圆O 1 的直径，∴∠APC=90°， 作⊙O 1 与⊙O 2 的内公切线MP交AB与点M． 又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点， ∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP， ∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°， ∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°， ∴∠CPB=180°． ∴C，P，B三点共线． （Ⅱ）∵CD切圆O 2 于点D，∴CD 2 =CP?CB． 在△ABC中，∠CAB=90°，又∵AP⊥BC，∴CA 2 =CP?CB． 故CD=CA．