Question

已知a是实数，方程X2+2aX+1=0，有两个不相等的实数根，试判断方程（X-a)2-(2X2+3)a2+1=0是否有实数根。

请将过程具体些

Answer 1

∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实数根，
∴(2a)²-4>0，即a²>1，
∴a<-1，或a>1.

对于方程(x-a)²-(2x²+3)a²+1=0，
(x²-2ax+a²)-2a²x²-3a²+1=0
(1-2a²)x²-2ax-2a²+1=0

∵a²>1，∴2a²>2，-2a²<-2，1-2a²<-1，
得1-2a²≠0，方程(1-2a²)x²-2ax-2a²+1=0是一元二次方程；

判别式=4a²-4(1-2a²)(-2a²+1)
=4a²-4(1-2a²)²
=4(1-a²)(3a²-1)
∵a²>1，
∴1-a²<0，3a²-1>0，
∴4(1-a²)(3a²-1)<0，即判别式<0，
∴方程(x-a)²-(2x²+3)a²+1=0无实根.