Question

（2014?岳阳二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AD=2，AC=

（2014?岳阳二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AD=2，AC=23，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BD；（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求DE与平面PAC所成的角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，
∴由余弦定理得CD²+2CD-8=0
解得CD=2，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD   
又PA⊥底面ABCD
∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC
∴PC⊥BD       …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

?

1

2

AC?BD?PA=4，可得PA=2

3

…（8分）
设AC与BD交于点O，连结OE
由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，
∴DE在平面PAC的射影为OE
∴∠DEO就是DE与平面P所AC成的角…（10分）
∵E是PC的中点，
∴OE=

1

2

PA=

3

∴在Rt△DOE中，tan∠DEO=

3

3

∴∠DEO=30°
即DE与平面PAC所成的角为30°…（12分）