Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*（1）证明：数列{an-n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn

在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*（1）证明：数列{an-n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1=2a_n-n+1
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），又a₁-1=2≠0
∴数列{a_n-n}是首项为1，公比为2的等比数列（5分）
（2）解：由（1）可得an?n＝1?2n?1即an＝2n?1+n（9分）
∴Sn＝(20+1)+(21+2)+…+(2n?1+n)
=（1+2+…+2^n-1）+（1+2+…+n）
=2n?1+

n(n+1)

2

＝2n+

n2+n+2

2

（13）