(2009?中山市模拟)设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点(?2,0),(23,0)
(2009?中山市模拟)设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点(?2,0),(23,0),如图所示,(1)求f(x)的解析式;...
(2009?中山市模拟)设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点(?2,0),(23,0),如图所示,(1)求f(x)的解析式;(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.
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(1)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的图象经过点(-2,0),(
,0),
∴
?
∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,
由图象可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(?2,
)上单调递增,在(
,+∞)上单调递减,
由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1
∴f(x)=-x3-2x2+4x
(2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,
只需f(x)min≥m2-14m即可.
由(1)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上单调递减,在(?2,
)上单调递增,在(
,3]上单调递减
且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8
∴f(x)min=f(3)=-33(11分)-33≥m2-14m?3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.
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∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,
由图象可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(?2,
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由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1
∴f(x)=-x3-2x2+4x
(2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,
只需f(x)min≥m2-14m即可.
由(1)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上单调递减,在(?2,
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且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8
∴f(x)min=f(3)=-33(11分)-33≥m2-14m?3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.
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