Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（xy）=f（x）-f（y）．（Ⅰ）求f（1）的

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（xy）=f（x）-f（y）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（13）＜2．

Answer 1

（Ⅰ）在f（

x

y

）=f（x）-f（y）中，
令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
∴f（1）=0．
（Ⅱ）∵f（6）=1，
∴f（x+3）-f（

1

3

）＜2=f（6）+f（6），
∴f（3x+9）-f（6）＜f（6），
即：f（

x+3

2

）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴

x+3 2 ＞0 x+3 2 ＜6

．解得-3＜x＜9．
故不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜2的解集为（-3，9）．