Question

高一数学题，速进！

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:①当x∈R时,f(x)的最小值为0;②当x∈（0，5）时，x≤f(x)≤2│x-1│+1恒成立，
（1）求f(1)的值；
（2）求f(x)的解析式；
（3）若f(x)在区间[m-1,m]上恒有|f(x)-x|≤1,求实数m的取值范围。

Answer 1

（1）当x∈（0，5）时，x≤f(x)≤2│x-1│+1恒成立，所以令x=1，则有1≤f(1)≤2│1-1│+1=1，则有1≤f(1)≤1，可见f(1)=1

（2）从f(x)=ax^2+bx+c是个偶函数，当x∈R时,f(x)有最小值，可见，a是大于0的，而最小值是0，可见4ac-b^2/4a=0,而-b/2a=0,可见b=0，而c=0，所以f(x)=ax^2，而上面求得f(1)=1，代入得a=1，所以f(x)=x^2

(3)|f(x)-x|=|x^2-x|=|(x-1/2)^2-1/4|≤1,你可以画一下函数(x-1/2)^2-1/4的图像，是开口朝上的抛物线，顶点是（1/2,-1/4）,和X轴的交点是（0，0）和（1，0），可见在x∈[0,1]时，(x-1/2)^2-1/4为负，最小值是-1/4，其绝对值就在0到1/4之间，是满足|(x-1/2)^2-1/4|≤1的，此时[m-1,m]要在0到1之间，所以，0《m-1《1且0《m《1，解得m=1

而在负无穷到0，和1到正无穷，(x-1/2)^2-1/4也就是x^2-x是大于0的，所以|x^2-x|=x^2-x≤1，

所以令x^2-x=1，解得x1=√5/2+1/2,x2=-√5/2+1/2,所以[m-1,m]应在-√5/2+1/2和√5/2+1/2之间，则-√5/2+1/2《m-1《√5/2+1/2且-√5/2+1/2《m-《√5/2+1/2，解得-√5/2+3/2《m《√5/2+1/2

综合m=1和-√5/2+3/2《m《√5/2+1/2，可知m的取值范围是[-√5/2+3/2,√5/2+1/2]