Question

数学17题

Answer 1

（1）三角形PBC中，EF平行于BC，所以EF平行于面ABC；
（2）因为ABC为圆上三点，AB为直径，所以BC垂直于AC，
因为PA垂直于ABC面，所以PA垂直于BC，
综上所述，BC同时垂直于PA与AC，所以BC垂直于面PAC,
因为EF平行于BC，（由1可知），所以EF垂直于PAC面；
（2）三角形ABC为等腰直角三角形，斜边长为2，可知面积为1，且AC=根下2，
三角形PAC也是等腰直角三角形，可得PA=AC=根下2，且为三棱锥的高，所以三棱锥体积为：
V=底面积×高/3=根号2/3。

Answer 2

（1）证明：在三角形PBC中，
∵E是PC中点，F为PB中点，
∴EF∥BC，
又∵BC⊂面ABC，EF⊄面ABC，
∴EF∥面ABC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PA．
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵PA∩AC=A
∴BC⊥面PAC
∵EF∥BC，
∴EF⊥面PAC．
（3）解：∵BC⊥面PAC
∴AC⊥BC，PC⊥BC
∴∠PCA=45°
∵PA⊥面ABC
∴PA⊥AC
∴△PAC为等腰直角三角形
∴PA=AC
∵AC=BC，AB=2，∠ACB=90°
∴AC=BC=√2
则S△ABC=AC×BC÷2=1
∴三棱锥B-PAC的体积VB-PAC=VP-ABC=1/3*S△ABC*PA=√2/3.
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Answer 3

证明：（1）∵E、F分别是PC、PB中点，∴ EF∥CB，CB在平面ABC，EF不在平面ABC，
所以EF∥平面ABC，
（2）∵AB是圆O的直径，C是圆上任一点，∴BC⊥AC，又∵ PA⊥平面ABC，∴ PA⊥BC，∴
BC⊥平面PAC，EF∥CB，∴ EF⊥平面PAC，
（3）∵ AC=BC，△ABC是等腰直角三角形，AB=2，∴ AC=BC=√2，又∵PC与圆O平面成45°角，
∵ PA⊥平面ABC，∴ 即是∠ACP=45°，∴ PC=√2，∴△PAC的面积S=1/2AC×PC=1，
∴ 三棱锥B-PAC的体积V=1/3S×BC=√2/3