Question

已知：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2，0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是-4

已知：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2，0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是-4．若x1，x2是方程x2-2（m-1）+m2-7=0的两个实数根，且x12+x22=10．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵若x₁，x₂是方程x²-2（m-1）+m²-7=0的两个实数根，
由题意得：x₁+x₂═-

b

a

=2（m-1），x₁x₂=

c

a

=m²-7．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m-1）²-2（m²-7）=10，
化简，得m²-4m+4=0，
解得m=2．
且当m=2时，△=4-4×（-3）＞0，符合题意．
∴原方程可写成：x²-2x-3=0，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
因此抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则有：
-4=a（1+1）（1-3），a=1；
∴y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3；

（3）S_{四边形ACMB}=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△NBM=

1

2

OA?OC+

1

2

（OC+MN）?ON+

1

2

NB?MN，
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4=9．
假设存在P（x₀，y₀）使得S_△PAB=2S_{四边形ACMB}=18，
即：

1

2

AB|y₀|=18，

1

2

×4×|y₀|=18，
∴y₀=±9；
当y₀=9时，x²-2x-3=9，解得x=1-

13

，x=1+

13

；
当y₀=-9时，x²-2x-3=-9，此方程无实数根．
∴存在符合条件的P点，且坐标为（1-

13

，9），（1+

13

，9）．