Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N。当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN。 （1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。

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Answer 1

解：（1）BM+DN=MN成立。     如图，延长CB到E，使BE=DN，连接AE。     证明：∵AB=AD，∠ABE=∠D=90° ，         ∴△ABE≌△AND，         ∴AE=AN, ∠BAE=∠NAD，          ∵∠BAM+∠NAD=45° ，         ∴∠BAM+∠BAE =45°，即∠EAM=∠MAN =45°，         ∴△AEM≌△ANM，         ∴ME=MN，         ∵ME=BE+BM=DN+BM，         ∴DN+BM=MN
（2）DN-BM=MN。