Question

已知数列{ a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n -l；数列{b n }满足b n-1 -b n =b n b n-1 （n≥2，n∈N *

已知数列{ a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n -l；数列{b n }满足b n-1 -b n =b n b n-1 （n≥2，n∈N * ）b 1 =1．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{ a n b n }的前n项和T．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，a 1 =S 1 =2a 1 -1，解得a 1 =1． 又当n≥2时，a n =S n -S n-1 =2a n -1-（2a n-1 -1）=2a n -2a n-1 ， ∴a n =2a n-1 （n≥2）． ∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． ∴ a n =1× 2 n-1 = 2 n-1 (n∈ N * ) ． 由b n-1 -b n =b n b n-1 ，得 1 b n - 1 b n-1 =1 ． 又b 1 =1，所以数列{ 1 b n }是首项为 1 b 1 = 1 1 =1 ，公差为1的等差数列． ∴ 1 b n =1+(n-1)×1=n ． ∴ b n = 1 n ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得： a n b n =n? 2 n-1 ， ∴T n =1×2 0 +2×2 1 +…+n?2 n-1 ， 2T n =1×2 1 +2×2 2 +…+（n-1）?2 n-1 +n?2 n ，． 两式相减，得 - T n =1+ 2 1 + 2 2 +…+ 2 n-1 -n? 2 n = 1×( 2 n -1) 2-1 -n?2 n =2 n -1-n?2 n ． ∴ T n =(n-1)? 2 n +1 ．