Question

已知函数f（x）=x（x- 1 2 ）的定义域为（n，n+1）（n∈N * ），f（x）的函数值中所有整数的

已知函数f（x）=x（x- 1 2 ）的定义域为（n，n+1）（n∈N * ），f（x）的函数值中所有整数的个数记为g（n）．（1）求出g（3）的值；（2）求g（n）的表达式；（3）若对于任意的n∈N * ，不等式（C n 0 +C n 1 +…+C n n ）l≥g（n）-25（其中C n i ，i=1，2，3，…，n为组合数）都成立，求实数l的最小值．

Answer 1

（1）当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是增函数， n=1时，f（1）= 1 2 ，f（2）=2×（2- 1 2 ）=3；有整数1，2，故g（1）=2； n=2时，f（3）=3×（3- 1 2 ）= 15 2 ，有整数4，5，6，7；故g（2）=4； n=3时，f（4）=4×（4- 1 2 ）=14，有整数8，9，10，11，12，13；故g（3）=6； n=4时，f（5）=5×（5- 1 2 ）= 45 2 ，有整数15，16，17，18，19，10，21，22；故g（4）=8； n=5时，f（6）=6×（6- 1 2 ）=33，有整数23，24，25，26，27，28，29，30，31，32；故g（5）=10； （2）∴g（n）=2n． （3）∴（C n 0 +C n 1 +…+C n n ）l≥g（n）-25?2 n ?L≥2n-25?L≥ 2n-25 2 n 令 a n = 2n-25 2 n ， 则a n+1 -a n = 2(n+1)-25 2 n+1 - 2n-25 2 n = 27-2n 2 n+1 ； n≤13时，a n+1 -a n ＞0，{a n }递增； n≥14时，a n+1 -a n ＜0，{a n }递减； n=13时，a n 有最大值，a 13 = 2×13-25 2 13 = 1 2 13 ． ∴L的最小值为 1 2 13 ．