Question

已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4和直线l：kx-y-4k+3=0（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；（2）求k

已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4和直线l：kx-y-4k+3=0（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；（2）求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．

Answer 1

（1）证明：由直线l的方程可得y-3=k（x-4），则直线l恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C的方程，得（4-3）²+（3-4）²=2＜4，
所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l与圆C总相交．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则 d＝

|3k?4?4k+3|

k2+(?1)2

＝

|k+1|

k2+1

，
又设弦长为L，则(

L

2

)2+d2＝r2，即  (

L

2

)2＝4?

(k+1)2

k2+1

=4-（1+

2k

k2+1

）=3-

2k

k2+1

≥2．
∴当k=1时，(

L

2

)2min＝2，
∴L_min=2

2

，所以圆被直线截得最短的弦长为2

2

．