Question

已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=12．（I）若点F在直线l：x-y+1=0上

已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=12．（I）若点F在直线l：x-y+1=0上，求椭圆E的方程；（II）若0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得PF?PA＝1？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵F（-c，0）在直线l：x-y+1=0上，
∴-c+1=0，即c=1，
又e＝

c

a

＝

1

2

，∴a=2c=2，
∴b=

a2?c2

＝

22?12

＝

3

．
从而椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（Ⅱ）由e＝

c

a

＝

1

2

，得c＝

1

2

a，
∴b＝

a2?c2

＝

a2? a2 4

＝

3 a

2

，
椭圆E的方