Question

（2014?南平模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD=60°，E为弧BC上一动点（不与点

（2014?南平模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD=60°，E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），过E分别作于EF⊥AB于F，EG⊥OC于G．现给出以下四个命题：①∠GEF=60°；②CD=GF；③△GEF一定为等腰三角形；④E在弧BC上运动时，存在某个时刻使得△GEF为等边三角形．其中正确的命题是______．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

①∵EF⊥AB，EG⊥OC，
∴∠EGO=∠EFO=90°．
∴∠GEF+∠GOF=180°．
∵∠GOF=180°-∠COD=180°-60°=120°，
∴∠GEF=180°-120°=60°．
故①正确．
②连接OE，取OE的中点O′，连接O′F，GO′，如图所示．
∵∠EGO=∠EFO=90°，点O′是OE的中点，
∴O′G=O′F=

1

2

OE．
∴点E、G、O、F在以点O′为圆心，O′O为半径的圆上．
延长GO′交⊙O′于R，连接RF．
则有∠GRF=∠GEF=60°．
∵GR是⊙O′的直径，∴∠GFR=90°．
∴GF=GR?sin∠GRF=OE?sin60°=

3

2

OE=

3

2

OC=CD．
故②正确．
③假设△EGF一定是等腰三角形，
∵∠GEF=60°，∴△EGF一定是等边三角形．
∴EG与EF一定相等．
但E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），显然EG与EF不一定相等．
∴假设不成立．
故③错误．
④当点E运动到

BC

的中点时，
则有∠COE=∠BOE．
∴EG=EF．
∵∠GEF=60°，
∴△EGF是等边三角形．
故④正确．
故答案为：①②④．