Question

设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f

设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为-12．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c
∴c=0
∵f'（x）=3ax²+b的最小值为-12
∴b=-12
又直线x-6y-7=0的斜率为

1

6

因此，f'（1）=3a+b=-6
∴a=2，b=-12，c=0．
（Ⅱ）f（x）=2x³-12x．f′(x)＝6x2?12＝6(x+

2

)(x?

2

)，列表如下：

所以函数f（x）的单调增区间是(?∞，?

2

)和(

2

，+∞)
∵f（-1）=10，f(

2

)＝?8

2

，f（3）=18
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f(

2

)＝?8

2

．