Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1,设a<=-2 ，证明对任意 x1,x2属于(0,正无穷),|F(x1)-f(x2)|>=4|x1-x2|

Answer 1

f（x）=（a+1）lnx+ax^2+1
则f'（x）=（a+1）/x+2ax
由a<=-2,x>0得
（a+1）/x<0，2ax<0
则|f'（x）|=|（a+1）/x+2ax|=|（a+1）/x|+|2ax|>=2根号[（a+1）/x*2ax]=2根号[2（a+1）a]
而y=（a+1）a在a<=2时为减函数，ymin=(-2+1)(-2)=2
则|f'（x）|=2根号[2（a+1）a]>=2根号[2*2]=4
则有|f（x1)-f(x2)|>=4|x1-x2|成立

Answer 2

如果学过导数的话，就应该知道
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|是原函数的导数
f'(x)=(a+1)/x+2ax>=2[2a(a+1)]^(1/2)
由于a<=-2,所以上式>=4
这就证得|f(x1)-f(x2)|>=4|x1-x2|