Question

已知数列{an}满足a1=2，an+1＝2(1+1n)2an，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝ann，求ni＝1b

已知数列{an}满足a1=2，an+1＝2(1+1n)2an，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝ann，求ni＝1bi；（3）当n≥2时，求证：ni＝1ci＜1724．





Answer 1

（1）由已知，得

an+1

(n+1)2

＝2?

an

n2

，∴{

an

n2

}是公比为2的等比数列，首项为a₁=2．
∴

an

n2

＝2?2n?1，a_n=n²2ⁿ．（6分）
（2）bn＝

an

n

＝n2n．

n

i＝1

bi=1?2¹+2?2²+3?2³++n?2ⁿ，①
2

n

i＝1

bi=1?2²+2?2³++（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-

n

i＝1

bi=2¹+2²+2³++2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹，
∴

n

i＝1

bi=2（1-2ⁿ）+n?2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（12分）
（3）当n≥2时，cn＝

n

an

=

1

n2n

=

n?1

n(n?1)2n

＜

n+1

n(n?1)2n

=

1

(n?1)2n?1

?

1

n2n

．
∴

n

i＝1

ci=