Question

（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小

（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值．

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Answer 1

解：（1）同意，连接EF，则根据翻折不变性得， ∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF， ∴GF=DF； （2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y， 则有GF=x，AD=y ∵DC=2DF， ∴CF=x，DC=AB=BG=2x， ∴BF=BG+GF=3x； 在Rt△BCF中，BC 2 +CF 2 =BF 2 ， 即y 2 +x 2 =（3x） 2 ∴y=2 x， ∴ ； （3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ∵DC=nDF， ∴BF=BG+GF=（n+1）x 在Rt△BCF中，BC 2 +CF 2 =BF 2 ，即y 2 +[（n﹣1）x] 2 =[（n+1）x] 2 ∴y=2x ， ∴ 或 ．