Question

如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．（1）求证：

如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）①当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足______条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，
∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC和△DBF中，

BA＝BD ∠ABC＝∠DBF BC＝BF

∴△ABC≌△DBF．（2分）
∴AC=DF=AE．（3分）
同理△ABC≌△EFC．
∴AB=EF=AD．（4分）
∴四边形ADFE是平行四边形．（6分）

（2）解：当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∴平行四边形DAEF是矩形．
当AB=AC≠BC，有AD=AE，
∴平行四边形DAEF是菱形．
当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．