（12分）（2011?重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1 （Ⅰ）求四
（12分）（2011?重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣A...
（12分）（2011?重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1 （Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．
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| （Ⅰ）  （Ⅱ） |
| 试题分析：法一：几何法， （Ⅰ）过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，由面面垂直的性质，可得DF是四面体ABCD的面ABC上的高；设G为边CD的中点，可得AG⊥CD，计算可得AG与DF的长，进而可得S △ ABC ，由棱锥体积公式，计算可得答案； （Ⅱ）过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，分析可得∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，计算可得EF的长，由（Ⅰ）中DF的值，结合正切的定义，可得答案． 法二：向量法， （Ⅰ）首先建立坐标系，根据题意，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M；易知OH⊥OM，因此可以以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O﹣XYZ，进而可得B、D的坐标；从而可得△ACD边AC的高即棱住的高与底面的面积，计算可得答案； （Ⅱ）设非零向量  =（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（Ⅰ）易得向量 的坐标，同时易得 =（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夹角公式可得从而cos＜ ， ＞，进而由同角三角函数的基本关系，可得tan＜ ， ＞，即可得答案．解：法一 （Ⅰ）如图：过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD， 可得DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高； 设G为边CD的中点，由AC=AD，可得AG⊥CD， 则AG=  = = ；由S △ ADC =  AC?DF= CD?AG可得，DF= = ；在Rt△ABC中，AB=  = ，S △ ABC =  AB?BC= ；故四面体的体积V=  ×S △ ABC ×DF= ；（Ⅱ）如图，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE， 由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂线定理可得DE⊥AB，故∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角， 在Rt△AFD中，AF=  = = ；在Rt△ABC中，EF∥BC，从而  ，可得EF= ；在Rt△DEF中，tan∠DEF=  = ．则二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为 ．解法二：（Ⅰ）如图（2） 设O是AC的中点，过O作OH⊥AB，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M； 由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM， 因此以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O﹣XYZ， 已知AC=2，故A、C的坐标分别为A（0，﹣1，0），C（0，1，0）； 设点B的坐标为（x 1 ，y 1 ，0），由  ⊥ ，| |=1；有  ， 解可得  或 （舍）；即B的坐标为（  ， ，0），又舍D的坐标为（0，y 2 
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