Question

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，且满足f（xy）=f（x）+f（y）．（1）证明： f( x y

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，且满足f（xy）=f（x）+f（y）．（1）证明： f( x y )=f(x)-f(y) ；（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x?y）， ∴ f( x y )+f(y)=f( x y ×y)=f(x) 因此，满足 f( x y )=f(x)-f(y) ， （2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）； ∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数， ∴f（a）＞f（a-1）+2，? a-1＞0 a＞0 f[(a-1)?9]＜f(a) ? a＞1 (a-1)?9＜a ?1＜a＜ 9 8 ， 故a的取值范围（1， 9 8 ）