Question

已知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn＝1a2n，n=1、2、3…（1）证明

已知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn＝1a2n，n=1、2、3…（1）证明：{bn}为等比数列；（2）如果数列{bn}前3项的和为724，求数列{an}的首项和公差；（3）在（2）小题的前提下，令Sn为数列{6anbn}的前n项和，求Sn．

Answer 1

（1）证明：∵lga₁、lga₂、lga₄成等差数列，
∴2lga₂=lga₁+lga₄成=lg（a₁?a₄），
∴a22=a₁?a₄，
又{a_n}是各项为不同的正数的等差数列，设其公差为d，
则(a1+d)2=a₁?（a₁+3d），
∴a₁d=d²，又d≠0，
∴a₁=d，
∴a_n=nd，a2n=2ⁿd，

1

a2n

=

1

2nd

，
又b_n=

1

a2n

=

1

2nd

，
∴

bn+1

bn

=

1

2

，
∴{b_n}为公比是

1

2

的等比数列；
（2）∵b₁+

1

2

b₁+

1

4

b₁=

7

4

b₁=

7

24

，
∴b₁=

1

6

，又b₁=

1

2d

，
解得：d=3，又a₁=d，故a₁=3；
∴a_n=3n；
（3）∵a_n=3n，b_n=b₁q=

1

6

?(

1

2

)n?1=

1

3

?(

1

2

)n，
∴a_n?b_n=n?(

1

2

)n，
∴S_n=6（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）
=6[1×

1

2

+2×

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