Question

如图，已知直线l：y=2x-4交抛物线y2=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大

如图，已知直线l：y=2x-4交抛物线y2=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大，并求这个最大面积．

Answer 1

由

y＝2x?4 y2＝4x

得：4x²-20x+16=0，即x²-5x+4=0，
所以A（4，4）、B（1，-2）．
故|AB|＝3

5

．…（4分）
设点P（t²，2t）（-1＜t＜2），则P到直线l的距离为：d＝

|2t2?2t?4|

5

＝

|2(t+1)(t?2)|

5

，
所以S△ABP＝

1

2

?|AB|?d＝3|(t+1)(t?2)|．
故当t＝

1

2

，即点P(

1

4

，1)时，△ABP的面积最大为

27

4

．…（12分）