Question

已知f(x)对任意x ,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是奇函数还是偶函数，还是非奇非偶函数？

Answer 1

奇函数
令x=y=0得f(0)=0
令x=x,y=-x得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以f(-x)=-f(x)
即f(x)是奇函数

Answer 2

由题目可得f(-x+x)=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=f(0)
又有f(0+y)=f(0)+f(y)
即f(y)=f(0)+f(y),f(0)=0
所以f(x)=-f(-x)
即它是个奇函数
若他表达式为f(x)=0，则它也是个偶函数。

Answer 3

因为f(0*0)=f(0)+f(0) 所以 f(0)=2f(0) 即 f(0)=0
由f(x*(-x))=f(x)+f(-x)
f(0)=f(x)+f(-x)
0=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
因为f(x)=-f(-x) f(0)=0 所以此为奇函数