Question

已知函数f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R) （1）当a=3时，求函数f（x）在[1/2,2]上的最大值和最小值

（1）当a=3时，求函数f（x）在[1/2,2]上的最大值和最小值
（2）当函数f（x）在（1/2,2）单调时，求a的取值范围
（3）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件

Answer 1

已知函数f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R)
(1)当a=3时，
f(x)=-x²+3x-Inx
f '(x)=-2x+3-1/x
当x∈[1/2,2]时，f '(x)=-2x+3-1/x<=0
所以f(x)=-x²+3x-Inx 在[1/2,2]上递减
当x=1/2时，函数最大值为:f(1/2)=5/4+ln2
当x=2时，函数最小值为:f(2)=2-ln2

(2)当函数f(x)在(1/2,2)单调时，
f(x)=-x²+ax-Inx
f '(x)=-2x+a-1/x
当x∈(1/2,2)时,下面不等式恒成立
f '(x)=-2x+a-1/x >0 或f '(x)=-2x+a-1/x <0
a>2x+1/x 或a<2x+1/x

而 2x+1/x>=2(√2) 当且仅当2x=1/x x=(√2)/2∈(1/2,2)取等号
当x=1/2时 2x+1/x=3
当x=2时 2x+1/x=9/2
所以2x+1/x的最大值为9/2 最小值为2(√2)

故a>9/2或a<2(√2)

(3)函数f(x)既有极大值又有极小值
f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R)
f ' (x)=-2x+a-1/x (a∈R)
令f ' (x)=-2x+a-1/x=0
则-2x²+ax-1=0
2x²-ax+1=0 只要有二个不等的实根就行了
△=a²-9>0
a>3或a<-3

Answer 2

(1).a=3,f(x)=-x^2+3x-lnx,求导：f(x)'=-2x+3-1/x=-(2x-1)(x-1)/x,令f(x)'=0,de x=1/2或1，在（0,1/2），（1,正无穷）递减，在（1/2,1)递增，f（x）在[1/2,2]上的最大值f（x）max=f（1）=2，f（1/2)=5/4+ln2,f(2)=2-ln2,f(2)<f(1/2),最小值f（x）min=2-ln2