Question

已知函数f(x)＝lnxx?x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）

已知函数f(x)＝lnxx?x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）试证明：对任意n∈N+，不等式ln1+nn＜1+nn2恒成立．

Answer 1

（1）解：求导函数可得f′(x)＝

1?lnx

x2

?1=-

x2+lnx?1

x2

令g（x）=x²+lnx-1，x∈（0，+∞），则g′（x）=2x+

1

x

＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增
∵x=1时，f′（x）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一解
∵当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
（2）解：由（1）知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
①当0＜2m≤1时，即0＜m≤

1

2

时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴f（x）_max=f（2m）=

ln2m

2m

?2m
②当m≥1时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴f（x）_max=f（m）=

lnm

m

?m
③当m＜1＜2m，即

1

2

＜m＜1时，f（x）_max=f（1）=-1
（3）证明：由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有f(x)＝

lnx

x

?x≤-1，当且仅当x=1时，等号成立
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）
∵

1+n

n

＞1，
∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

?1)＝

1+n

n2

∴对任意n∈N₊，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．