Question

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝?34x2+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝?34x2+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=kx-3过点A（4，0），
∴0=4k-3，解得k=

3

4

．
∴直线的解析式为y=

3

4

x-3．（1分）
由直线y=

3

4

x-3与y轴交于点C，可知C（0，-3）．
∵抛物线y＝?

3

4

x2+mx+n经过点A（4，0）和点C，
∴?

3

4

×42+4m?3＝0，
解得m=

15

4

．
∴抛物线解析式为y＝?

3

4

x2+

15

4

x?3．（2分）

（2）对于抛物线y＝?

3

4

x2+

15

4

x?3，
令y=0，则?

3

4

x2+

15

4

x?3＝0，
解得x₁=1，x₂=4．
∴B（1，0）．
∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t．
①若∠Q₁P₁A=90°，则P₁Q₁∥OC（如图1），
∴△AP₁Q₁∽△AOC．
∴

AP1

AO

＝

AQ1

AC

，
∴

3?t

4

＝

5?2t

5

，
解得t=

5

3

；（3分）
②若∠P₂Q₂A=90°，
∵∠P₂AQ₂=∠OAC，
∴△AP₂Q₂∽△ACO．
∴

AP2

AC

＝

AQ2

AO

，
∴

3?t

5

＝

5?2t

4

解得t=

13

6

；（4分）
③若∠QAP=90°，此种情况不存在．（5分）
综上所述，当t的值为

5

3

或

13

6

时，△PQA是直角三角形．

（3）答：存在．
过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）．
∴S_△ADF=

1

2

DF?AE，S