Question

在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），已知抛物线y=x2+bx+c过点A（4，0），B（1，-3）．（1）求b，c的

在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），已知抛物线y=x2+bx+c过点A（4，0），B（1，-3）．（1）求b，c的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）设抛物线的对称轴为直线l，点P（m，n）是抛物线上在第一象限的点，点E与点P关于直线l对称，点E与点F关于y轴对称，若四边形OAPF的面积为48，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，设M是直线l上任意一点，试判断MP+MA是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点A（4，0），B（1，-3），
∴

16+4b+c=0 1+b+c=-3

．
解得：

b=-4 c=0

．
∴y=x²-4x=（x-2）²-4．
∴抛物线的对称轴为x=2，顶点为（2，-4）．

（2）如图1，
∵点P（m，n）与点E关于直线x=2对称，
∴点E的坐标为（4-m，n）．
∵点E与点F关于y轴对称，
∴点F的坐标为（m-4，n）．
∴PF=m-（m-4）=4．
∴PF=OA=4．
∵PF∥OA，
∴四边形OAPF是平行四边形．
∵S_?OAPF=OA?

.

yP

.

=4n=48，
∴n=12．
∴m²-4m=n=12．
解得：m₁=6，m₂=-2．
∵点P是抛物线上在第一象限内的点，
∴m=6．
∴点P的坐标为（6，12）．

（3）过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，
在（2）的条件下，有P（6，12），E（-2，12），
则AH=4-（-2）=6，EH=12．
∵EH⊥x轴，即∠EHA=90°，
∴EA²=EH²+AH²=12²+6²=180．
∴EA=6

5

．
∵点E与点P关于直线l对称，
∴MP=ME．
∴MP+MA=ME+MA．
根据“两点之间线段最短”可得：
当点E、M、A共线时，MP+MA最小，最小值等于EA的长，即6

5

．
设直线AE的解析式为y=mx+n，
则

4m+n=0 -2m+n=12

，
解得：