Question

π为圆周率，e=2.71828…为自然

π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=lnxx的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由f（x）得f′(x)＝

1?lnx

x2

．
当f'（x）＞0，即0＜x＜e时，f（x）单调递增；当f'（x）＜0，即x＞e时，f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，
从而有ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是，根据函数y=lnx，y=e^x，y=π^x在定义域上单调递增，
可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
∴这6个数的最大数在π³与3^π之中，最小数在3^e与e³之中．
由（Ⅰ）知，f（x）=

lnx

x

在[e，+∞）上单调递减，
∴

lnπ π ＜ ln3 3 ln3 3 ＜ lne e

即

3lnπ＜πln3 eln3＜3lne

得

lnπ3＜ln3π ln3e＜lne3

∴