Question

（2011?锦江区模拟）已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．①

（2011?锦江区模拟）已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．①求证：AB=AC；②若tan∠ABE=12（ⅰ）求ABBC的值．（ⅱ）求当AC=2时，AE的长．

Answer 1

①∵BE为圆O的切线，BA为圆的弦，
∴∠EBA为弦切角，
∴∠EBA=∠C，又∠EBC=2∠C，
∴∠EBC=2∠EBA，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC；

②（i）连接OA．
∵AB=AC，∴

AB

=

AC

，
∴OA⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD，
∵tan∠ABE=

1

2

，∠EBA=∠ABC，
∴tan∠ABC=

1

2

，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=

AD

BD

=

1

2

，
设AD=k，则BD=2k，BC=4k，
在△ABD中，∠ADB=90°，根据勾股定理得：AB=

BD2+AD2

=

5

k，
则

AB

BC

=

5 k

4k

=

5

4

；

（ii）在Rt△ADC中，AC=AB=2，tan∠ABE=tanC=

AD

DC

=

1

2

，
设AD=x，DC=2x，根据勾股定理得：x²+（2x）²=2²，
解得：x=

2 5

5

，
∴BC=2DC=4x=

8 5

5

，
∵∠EBA=∠C，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BEC，
∴

AE

BE

=

BE

EC

=

AB

BC

=

2

8 5 5

=

5

4

，
∴BE=

4 5

5

AE，
又∵

AE

BE

=

BE

EC

，即BE²=AE?CE，
∴（

4 5

5

AE）²=AE（AC+AE）=AE（2+AE），
整理得：

16

5

AE²=2AE+AE²，
解得：AE=

10

11

．