Question

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a2n+an=2Sn（1）求a1（2）求数列{an}的通项；（3）若bn=1an

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a2n+an=2Sn（1）求a1（2）求数列{an}的通项；（3）若bn=1an2（n∈N*），Tn=b1+b2+…bn，求证：Tn＜53．

Answer 1

（1）令n=1，得a₁²+a₁=2S₁=2a₁，∵a₁＞0，∴a₁=1，
（2）又a²_n+a_n=2S_n，
有a²_n+1+a_n+1=2S_n+1，
两式相减得并整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，∴数列{a_n}是以a₁=1，公差为1的等差数列，
通项公式为a_n=1+（n-1）×1=n；
（3）n=1时b₁=1＜

5

3

符合…（9分）
n≥2时，因为

1

n2

＜

1

n2? 1 4

=

4

4n2?1

=2（

1

2n?1

-

1

2n+1

）
所以T_n=b₁+b₂+…b_n，＜1+2（

1

3

?

1

5

+

1

5

?

1

7

+…+

1

2n?1

-

1

2n+1

）＜1+

2

3

=

5

3

∴T_n＜

5

3

．