Question

三道数学高一题 麻烦大家啦！！

1.函数f(x)=ax²-(3a-1)x+a²在x≥1上是增函数，求实数a的取值范围。

2.如果函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，且f(x)在其上位增函数，f(x×y)=f(x)+f(y),
(1)求证：f(x/y)=f(x)-f(y)
(2)已知f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围。

3.用定义证明：函数f(x)=x³在其定义域上是增函数。

Answer 1

高一还没学导数吧？

1.
（1）当a＝0时，f(x)是一次函数。则-(3a-1)=1，f(x)＝x，R上单调递增。
所以a=0
(2)当a大于0时，二次函数开口向上，对称轴＝(3a-1)/（2a）小于等于1，解得a小于等于1。
所以0<a<=1
(3)当a小于0时，二次函数开口向下。增区间在对称轴右边，函数在x≥1上是增函数不可能，所以不成立。
综上，a的取值范围是[0，1]
PS.注意要用区间而不能用不等式表示。

2
（1）证明：
令x=a/b，y=b
则xy=a
所以f(a)=f(a/b)+f(b)
所以f(a/b)=f(a)-f(b)
所以f(x/y)=f(x)-f(y)
（2）
f（9）＝f(3*3=f(3)+f(3)=2f（3）＝2
f(a)>f(a-1)+f(9)=f[（a-1)*9]
因为这是增函数
所以原不等式等价于a>(a-1)*9
a<9/8
又因为定义域为x>0
所以a-1>0
所以a>1

3.
f(x)=x³的定义域为R。
任意在R上取x1，x2，令x1<x2。
则f(x1)-f(x2)=(x1)^3-(x2)^3=(x1-x2)(x1^2+x1·x2+x2^2)
第一个括号x1-x2小于0
第二个括号乘以2（不影响正负）：2x1^2+2x1·x2+2x2^2＝x1^2+2x1·x2+x2^2+x1^2+x2^2＝（x1+x2)^2+x1^2+x2^2大于0
所以f(x1)-f(x2)小于0
所以增函数

Answer 2

1、（1）当a=0时，f(x)=x 满足题意
（2）当a>0时，开口向上，对称轴为 x=(3a-1)/2a
在对称轴左边为减函数，右侧为增函数，要使f(x)在x≥1上单增，
则 (3a-1)/2a≤1 (a>0) 解得 0<a≤1
当a<0时，开口向下，对称轴右边为减函数，不满足题意。
因此，a∈[0,1]。
2、（1）证明：f(x)=f(y×(x/y))=f(y)+f(x/y)
∴f(x/y)=f(x)-f(y)
(2) f(a)＞f(a-1)+2, 定义域为{x|x＞0}，
∴a>0,a-1>0 -->a>1 ①
f(a)-f(a-1)>2 ,由(1)的结论可得：f(a)-f(a-1)=f(a/(a-1))
原不等式化为：f(a/(a-1))>2
f(3×3)=f(3)+f(3)=2 即 f(9)=2 -->f(a/(a-1))>f(9)
f(x)单增 ∴ a/(a-1)>9 ②
由①， ②得： a< 9/8
∴ a∈(1,9/8)。
3、任取x1,x2∈R且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1³-x2³=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)
x1-x2<0, x1²+x1x2+x2²=[x1+(x2/2)]²+3x2²/4≥0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)=x³在其定义域上是增函数。