Question

高等数学：当x趋于0时，（1+x）^n与nx为等价无穷小

不用洛必达法则要怎样证？求教，谢谢

Answer 1

只需证明（（1＋x）＾x）／（1＋x）趋于1（当x→0时）

即（1＋x）＾｛x－1｝趋于1

一个重要极限：（1＋x）＾｛1／x｝趋于e（当x→0时）

所以（1＋x）＾｛x－1｝

＝（1＋x）＾｛（1／x）x（x－1）｝

＝（（1＋x）＾｛1／x｝）＾｛x（x－1）｝

趋于e＾0＝1

题1：高等数学等价无穷小的几个常用公式［数学］

当x→0时，

sinx～x

tanx～x

arcsinx～x

arctanx～x

1－cosx～（1／2）＊（x＾2）～secx－1

（a＾x）－1～x＊lna（（a＾x－1）／x～lna）

（e＾x）－1～x

ln（1＋x）～x

（1＋Bx）＾a－1～aBx

［（1＋x）＾1／n］－1～（1／n）＊x

loga（1＋x）～x／lna

（1＋x）＾a－1～ax（a≠0）

值得注意的是，等价无穷小一般只能在乘除中替换，

在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不能单独代换或分别代换）。

扩展资料

等价无穷小一般只能用于乘除运算中的因式代换，不能随意用于和差运算：

两个同价而不等价的无穷小之差的每一项可进行等价无穷小代换，

例如当x→0时，tan5x－sin2x等价于5x－2x＝3x，

但两个等价的无穷小之差的各项不能进行上述等价无穷小代换，

例如当x→0时，tanx－sinx不等价于x－x＝0，

这是因为两个等价的无穷小之差是一个更高阶的无穷小（甚至为零），

而两个同价而不等价的无穷小之差仍与这两个无穷小同阶．

Answer 2

这么做