Question

2014全国卷数学2第18题几何解法

Answer 1

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=√3，求三棱锥E-ACD的体积.

（1）证明：由题意：设AC的中点为G, 连接EG。
在三角形PBD中，中位线EG//PB,，且EG在平面AEC上，
∴PB//平面AEC.
（2）解析：∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴面PAD⊥面ABCD
∵E为PD的中点，过E作EH⊥AD交AD于H
∴EH⊥面ABCD，即EH为三棱锥E-ACD的高
∵二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=√3，
∴EH=PA/2=1/2
过D作DM⊥AE交AE延长线于M，连接CM
易知CD⊥面PADM，∴DM是CM在面PADM中投影==>CM⊥AM
∴∠CMD为二面角D-AE-C的平面角，∠CMD=60°
在Rt⊿PAD中，∠EAD=∠EDA=arctan1/√3=π/6
∴sin∠EAD=DM/AD=1/2==>DM=√3/2==>AM=3/2
在Rt⊿CDM中，∠CMD=60°
tan∠CMD=CD/DM=√3==>CD=3/2
∴S(⊿ACD)=1/2AD*CD=1/2*√3*3/2=3√3/4
V(E-ACD)=1/3*EH*S(⊿ACD)=1/3*1/2*3√3/4=√3/8