Question

一道高一数学 谢了

如果p1p2=4(q1+q2),证明关于x的二次方程x2+p1x+q1=0 x2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根 注意2这数字只有在x后面表示平方 其他是序号

Answer 1

反证法：
设两个方程都没实根，根的判别式<0;p1^2-4q1<0,p2^2-4q2<0

两式相加;p1^2+p2^2-4(q1+q2)<0,即p1^+p2^2-p1p2<0;

设f（p1)=p1^2-p2*p1+p2^2,开口向上，根的判别式=p2^2-4p2^2=-3p2^2<0

所以f（p1)>0恒成立，与p1^+p2^2-p1p2<0;矛盾，所以两个方程至少有一个有实根

Answer 2

△1=p1^2-4q1
△2=p1^2-4q1
△1+△2=p1^2-4q1+p1^2-4q1
=(p1-p2)^2+p1p2
易得△1+△2在（（p1-p2)^2，p1+p2)^2）之间（p1p2可以等于0，所以取到）
所以△1+△2大于等于0
所以△1，△2中必有一个大于等于0