Question

高一数学题函数部分 谢谢啦 要有详细的过程

若f（x）（a-1）²+2ax+3为偶函数，则f（x) 是（ ）
A 是（－1，1）上的增函数 B 是（－1，1）上的减函数
C 是（－1，0）上的减函数 是（0,1)上的增函数
D是（－1，0）上的增函数 是（0,1)上的减函数

若f（x）是R上的增函数，则F（x)=f(x)-f(-x）是（ ）
S单调性递增的奇函数
B单调性递增的偶函数
C单调性递减的奇函数
D单调性递减的偶函数

Answer 1

第一题题目该是这样的吧：若f（x）=（a-1）x2+2ax+3为偶函数，则f（x) 是（），若是这样，就好说了， 因为f（x）是偶函数，所以有f（-x）=f（x），则(a-1）x2+2ax+3=(a-1）x2-2ax+3,于是得出a=0，所以f(x)=-x2+3,在负无穷到0为增，0到正无穷为减，故答案选D

第二题：F（x)=f(x)-f(-x),则F(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(x)，可见F(x)是个奇函数，这就排除了B,D两个答案了，那么现在来判断F(x)的增减性，通常的证发是令x1>x2,然后判断F(x1)和F(x2)谁大
令x1>x2，则F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(-x1)-f(-x2)+f(x2)=f(x1)-f(x2)+[f(-x2)-f(x1)],因为f(x)是增，且x1>x2，则f(x1)>f(x2),-x2>-x1,所以f(-x2)>f(-x1),于是，f(x1)-f(x2)>0,f(-x2)-f(x1)>0,所以F(x1)-F(x2)>0,而x1>x2，可见，F(x)虽x的增大而增大，故F(x)是个增函数，就排除C
最终答案就是 A.单调性递增的奇函数