Question

已知函数f（x）=-x 3 +ax 2 -4，（1）若f（x）在 处取得极值，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若

已知函数f（x）=-x 3 +ax 2 -4，（1）若f（x）在 处取得极值，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围； （3）若存在x 0 ∈（0，+∞），使得不等式f（x 0 ）＞0成立，求实数 a 的取值范围。

Answer 1

解：（1） 由题意，得 ， 解得： ， 经检验满足条件。 （2）由（1）知， ，则 ， 令 ，则 或 （舍去）， 当x变化时， 的变化情况见下表： x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1   - 0 +   -1 递减 极小值-4 递增 极大值-3 ∵关于x的方程 在[-1，1]上恰有两个不同的实数根， ∴ 。 （3）由题意，得 ， ， ∴ ， ①若 ，则当 时， ， ∴ 在 上单调递增， ， ∴当 时， ， ∴当 时，不存在 ，使 ； ②当 a >0时， 随x的变化情况见下表： x （ ，+∞） + 0 - 递增 极大值 递减 ∴当 时， ， 由 得 ， 综上，得 。