Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A，B两点，且|AB|=4．（Ⅰ） 求

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A，B两点，且|AB|=4．（Ⅰ） 求此抛物线的方程；（Ⅱ）若过点Q（2，0）的直线交抛物线于C，D两点，若存在另一动点G，使得直线GC，GQ，GD的斜率依次成等差数列，试说明动点G一定在定直线上．

Answer 1

（Ⅰ）∵过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A，B两点，且|AB|=4．∴2p=4，p=2
∴抛物线的方程为y²=4x
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（X₂，Y₂）
  设过点Q（2，0）的直线方程为x=ky+2，由

y2＝4x x＝ky+2

得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-8
   设G（x₀，y₀），k_GC+k_GD=

y1?y0

x1?x0

+

y2?y0

x2?x0

=

y1?y0

ky1+(2 ?x0)

+

y2?y0

ky2+(2 ?x0)

=

?16k?4k2y0+4k(2?x0)? 2 (2?x0)y0

?8k2+4k2(2?x0)+ (2?x0)2

①
   k_GQ=2

y0

x0?2

②，
   化简得x₀=-2
   所以动点G一定在定直线x₀=-2上．