Question

如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距L=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的电阻，一

如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距L=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的电阻，一质量m=0.1kg，电阻r=0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.4T，棒在水平向右的外力作用下，由静止开始做匀加速直线运动，当棒运动的位移x=9m时速度达到6m/s，此时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1：Q2=2：1，导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，求：（1）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；（2）金属棒MN做匀加速直线运动所需外力随时间变化的表达式；（3）外力做的功WF．

Answer 1

（1）设棒匀加速运动的时间为△t，回路的磁通量变化量为△Φ，回路中的平均感应电动势为

.

E

．
由法拉第电磁感应定律得

.

E

=

△Φ

△t

  
其中△Φ=BLx  
设回路中的平均电流为

.

I

，由闭合电路的欧姆定律得：

.

I

=

. E

R+r

则通过电阻R的电荷量为q=

.

I

△t  
联立①②③④式，代入数据得：q=

△Φ

R+r

=

BLx

R+r

=

0.4×0.5×9

0.3+0.1

C=4.5C  
（2））设撤去外力时棒的速度为v，对棒的匀加速运动过程，由运动学公式v²=2ax
得：a=

v2

2x

=

62

2×9

m/s²=2m/s²
E=Blv，I=

E

R+r

   
由安培力公式和牛顿第二定律得：F-BIl=ma
得：F=0.2+0.2t    
（3）撤去外力后棒在安培力作用下做减速运动，安培力做负功先将棒的动能转化为电能，再通过电流做功将电能转化为内能，所以焦耳热等于棒的动能减少．有
  Q₂=△E_k=

1

2

mv2=

1

2

×0.1×62J=1.8J     
根据题意在撤去外力前的焦耳热为 Q₁=2Q₂=2×1.8J=3.6J
撤去外力前拉力做正功、安培力做负功（其大小等于焦耳热Q₁）、重力不做功共同使棒的动能增大，根据动能定理有△E_k=W_F-Q₁       
则 W_F=Q₁+△E_k=3.6J+1.8J=5.4J  
答：（1）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q为4.5C；
（2）金属棒MN做匀加速直线运动所需外力随时间变化的表达式为F=0.2+0.2t；
（3）外力做的功W_F为5.4J