Question

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1?e2的取值范围是（　　）A．（19，+∞）B．（15，+∞）C．（13，+∞）D．（0，+∞）

Answer 1

∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C₁与双曲线C₂有共同的焦点，
设左右焦点分别为F₁，F₂，P是C₁与C₂在第一象限的交点，
△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，
∴设椭圆和双曲线的长轴长分别为2a₁，2a₂，焦距为2c，
设|PF₁|=x，|PF₂|=|F₁F₂|=y，
由题意得

x+y＝2a1 x?y＝2a2 2c＝y

，
∵椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，
∴e₁?e₂=

c

a1

?

c

a2

=

y2

x2?y2

=

1

( x y )2?1

，
由三角形三边关系得|F₁F₂|+|PF₂|＞|PF₁|＞|PF₂|，
即2y＞x＞y，得到1＜

x

y

＜2，
∴1＜（

x

y

）²＜4，∴0＜（

x

y

）²-1＜3，
根据复合函数单调性得到e₁?e₂=

1

( x y )2?1

＞

1

3

．
故选：C．