Question

已知a为实数，f（x）=（x2-4）（x-a）．（1）求导数f′（x）；（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上

已知a为实数，f（x）=（x2-4）（x-a）．（1）求导数f′（x）；（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，∴f'（x）=3x²-2ax-4．
（2）由f'（-1）=0得a＝

1

2

，此时有f(x)＝(x2?4)(x?

1

2

)，f′(x)＝3x2?x?4．
由f'（x）=0得x＝

4

3

或x=-1，又f(

4

3

)＝?

50

27

，f(?1)＝

9

2

，f(?2)＝0，f(2)＝0，
所以f（x）在[-2，2]上的最大值为

9

2

，最小值为?

50

27

．
（3）解法一：f'（x）=3x²-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，由条件得f'（-2）≥0，f'（2）≥0，
∴-2≤a≤2．
所以a的取值范围为[-2，2]．
解法二：令f'（x）=0即3x²-2ax-4=0，由求根公式得：x1，2＝

a± a2+12

3

(x1＜x2)
所以f'（x）=3x²-2ax-4．在（-∞，x₁]和[x₂，+∞）上非负．
由题意可知，当x≤-2或x≥2时，f'（x）≥0，
从而x₁≥-2，x₂≤2，
即

a2+12 ≤6?a a2+12 ≤a+6

解不等式组得-2≤a≤2．
∴a的取值范围是[-2，2]．