Question

在三角形abc中,BD,CE分别是AC,AB边上的中线，BD与CE

在三角形ABC中,BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE交于点O，BC边上的中线是否一定过点O？为什么？

Answer 1

证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。 燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的点，AD、BE、CF 交于O点）。 S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD； 同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF； S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：EA。 [编辑本段]证法 证法1 下面的是第一种方法：相似三角形法 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。 求证：AE=CE 证明： 如图，过点O作MN‖BC，交AB于点M，交AC于点N； 过点O作PQ‖AB，交BC于点P，交AC于点Q。 ∵MN‖BC ∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD ∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD ∴MO：BD=NO：CD ∵AD是△ABC的一条中线 ∴BD=CD ∴MO=NO ∵PQ‖AB ∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF ∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF ∴PO：BF=QO：AF ∵CF是△ABC的一条中线 ∴AF=BF ∴PO=QO ∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO ∴△MOP≌△NOQ(SAS) ∴∠MPO=∠NQO ∴MP‖AC（内错角相等，两条直线平行） ∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE ∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE ∴MR：AE=PR：CE ∵MN‖BC，PQ‖AB ∴四边形BMOP是平行四边形 ∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分） ∴AE=CE 命题得证。 证法2 下面的是第二种方法：面积法 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。 求证：AE=CE 证明： 如图， ∵点D是BC的中点，点F是AB的中点 ∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD ∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD 即S△AOC（绿） = S△AOB（红） ∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF ∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF 即S△AOC（绿） = S△BOC（蓝） ∴S△AOB（红） = S△BOC（蓝） ∵S△AOE:S△AOB（红） = OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝） = OE:OB ∴S△AOE:S△AOB（红） = S△COE:S△BOC（蓝） ∵S△AOB（红） = S△BOC（蓝） ∴S△AOE = S△COE ∴AE=CE 命题得证。 证法3 下面的是第三种方法：中位线法 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。 求证：AE=CE 证明： 如图，延长OE到点G，使OG=OB。 ∵OG=OB ∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点 ∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD‖CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） ∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF‖AG ∵AD‖CG，CF‖AG ∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分 ∴AE=CE 命题得证。 证法四：因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证