Question

2条高中数学题 要详细过程。TKS

1。已知函数f(x),当x,y属于r时,恒有f(x+y)-f(x)+f(Y),(1)求证f(x)是奇函数,(2)如果x属于R,f（x）＜0，并且f（1）=-1/2,试求f（x）在区间[-2,6]上的最值
2。设函数Y=f（x）是定义在R上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（1/3)=1
(1)求f（1）的值 （2） 如果f（x）+f（2-x）<2 ，求x的取值范围

Answer 1

1.（1）先令x=y=0,有f(0)=0,再令y=-x,有f(x)+(f(-x)=f(0)=0.所以f(x)是奇函数。
（2）第二问条件“如果x属于R,f（x）＜0”有问题。因为f(-1)=1/2，就大于零。我猜原题应是x属于R+，如果是这样的话：
设x1>x2,f(x1)-f(x2)=f（x1-x2）<0,所以f(x)单调递减。
所以f（x）在区间[-2,6]上,最大值为f(-2)=2f(-1)=1,最小值为f(6)=6f(1)=-3
2.（1）令y=1,得f(1)=0
(2)f（x）+f（2-x）=f(2x-x^2),而f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2,所以即解：
f(2x-x^2）<f(1/9).由于Y=f（x）是定义在R上的减函数，所以2x-x^2>1/9,解得1-2*(根号2)/3<x<1+2*(根号2)/3