Question

设数列｛an｝的前n项和为sn,已知a1=1,sn+1=4an+2

（1）设bn=an+1-2an，证明数列｛bn｝是等比数列 （2）求数列｛an｝的通项公式

Answer 1

(1)Sn+1=4an+2
Sn=4a（n-1）+2
相减得Sn+1-Sn=4an+2-4a（n-1）-2
an+1=4an-4a（n-1）

an+1-2an=2(an-2an-1)
bn=2bn-1

(2)A1+A2=S2=4A1+2
A2=3A1+2=5
S(n+1)=4An+2
Sn=4A(n-1)+2
A(n+1)=S(n+1)-Sn=4An-4A(n-1)
A(n+1)-2An=2An-4A(n-1)=2(An-2A(n-1))
A2-2A1=5-2=3
{A(n+1)-2An}是以3为首项，2为公比的等比数列
A(n+1)-2An=3×2^(n-1)
An-2A(n-1)=3×2^(n-2)
An/2^n-2A(n-1)/2^n=3×2^(n-2)/2^n
An/2^n-A(n-1)/2^(n-1)=3/4
A1/2^1=1/2
{An/2^n}是以1/2为首项，3/4为公差的等差数列
An/2^n=1/2+(n-1)3/4=(3n-1)/4
An=(3n-1)×2^(n-2)