Question

【求教】高一数学函数题

设a>0，且a≠1，函数f（x）＝log a [（x－3）/（x＋3）]【a为底[（x－3）/（x＋3）]的对数】，g（x）＝1＋log a （x－1）【a为底（x－1）的对数】：
（1）求f（x）与g（x）定义域的公共部分D，并判断f（x）在D内的单调性；
（2）若[m,n]包含于D,且f(x)在[m,n]的值域恰为[g(m),g(n)],求a的取值范围。

麻烦重点讲讲第二问，谢谢！
第二问f(m)=g(m) 和f（n）＝g（n）是怎么得到的？f（x）的单调性不确定啊

Answer 1

第一问：将f（x）的真数常数分离可以判断其单调性（和a有关）第二问：易得f(m)=g(m) 和f（n）＝g（n）从而可得m和n是方程（x—1）a＝（x－3）/（x＋3）得两根，将其整理成关于x得一元二次方程（其两根是m，n）由于m和n都大于3，再用二次函数的根的分布(二次函数图像与x轴的交点坐标都在3的右边)就可以求得a的范围。
补充说明：由于题目中隐含了g（n）>g（m）而n>m。所以函数g（x）中的a>1，故函数f（x）是增函数，从而有f(m)=g(m) 和f（n）＝g（n）
此题我没有完整计算，提供思路仅供参考！

Answer 2

(1)D: x>3 f(x)化为:loga[1-3/(x+3)]故 f(x)单调性决定于a(大于一还是在0和1之间)具体不做说明
(2)因为f(x)在定义域内具有单调性,所以f(m),f(n)必然为极大或极小值.
故有f(m)=g(m)==>m-3/(m+3)(m-1)=a 再根据m的取值范围得到a的取值范围
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需要明确对数函数是单调的,不必管是单调增还是单调减.
题说f(x)在[m,n]的值域恰为[g(m),g(n)],自然一看就是单调增函数了.因此求得a的表达式,再根据m的范围得a范围

Answer 3

在上面无法用公式编辑器编辑