Question

高一数学题：主要求解第二问

高一数学题：
若函数y=f(x)满足以下条件： ①对于任意的x∈R，y∈R，恒有f(x+y)=f(x)f(y);
②x∈(0,+∝）时，f(x)∈(1,+∝)
（1）求f(0)的值；
（2）求证：f(x-y)=f(x)/f(y)（f(y)≠0）.

Answer 1

（1）：
令x=y=0；得到f（0）=f（0）f（0），解得f(0)=1或0，又因为f（x）∈(1,+∝)，所以f（0）=1。也可以从第二问的题设f(y)≠0中看出。
（2）：
令y=-x代入f(x+y)=f(x)f(y)，得到f（0）=f（x）f（-x）=1 （1式）
再令y=-y代入f(x+y)=f(x)f(y)，得到f(x-y)=f(x)f(-y)； （2式）
又因为f（-y）=1/f（y） （将1式变量x换成y）
代入2式就可以得到结论。
这个题的第二个条件我觉得有些无厘头，不过不影响解题过程。